分配模型

亦称“指派模型”，指管理中的这样一类问题的数学模型： 有各种不同的资源将分派给各种不同的用途，以寻求一种最优的分配方案。就总体来说，要求使有限的资源达到最经济的运用，取得最大的经济效果。这里的资源可以是人力，材料、工件、设备等； 用途可以是待用设备、待完成工作、待加工的工件等。这类资源合理利用问题的一个特征是，资源与用途之间是一一对应的，即当某种资源分配给某种用途之后，这种资源就不能再分配给别的用途了，同样，这种用途也不能再占用别的资源了。分配模型的建模条件是： 有n项工作，分配给n个人去完成，一个人只分配一项工作，一项工作由一人去做。已知每个人去完成每项工作的效率，要求进行人员的合理分配 （指派），使完成所有工作的总效率最高。其数学模型表示为：

模型中X_ij表示分配第i人从事第j项工作的变量，X_ij是一种特殊变量，只表示某人是否干某工作这种状态。规定Xij只能取1或0两个数值，Xij=1表示第i个人分配去干第j项工作，Xij=0表示第i个人不担任第j项工作，这类变量称0-1变量或开关变量； 以Ci_j表示第i个人从事第j项工作的效率； i、j分别表示工作人员数目和工作种类数目。上述模型通常可用下面的矩阵表格表示：

任务 人员	1	2	……n
1 2 … n	C11 C21 … Cn1	C12 C22 … Cn2	……C1n ……C2n … ……Cnn

表中的列表示待分配工作人员，行表示待完成工作项目，行列交叉处的元素表示不同人员完成不同工作的效率值Cij，故称效率矩阵。一般地说，当表中元素Cij表示时间、费用 （如成本等）、距离时，这类分配问题欲得到以极小值为目的的最优方案，称极小化分配问题； 当Cij表示产量、售价、利润、产值等时，是以得到极大值最优分配方案为目的，称极大化分配问题； 当上述表格为方阵，即工作人数与工作数目相等时，称人员与任务 （或资源与用途） 相等的分配问题，否则，称人员与任务数目不等的分配问题。分配问题的求解，都可在效率矩阵表上直接进行，由匈牙利数学家克尼格提出，常称“匈牙利”法。求解分配问题的方法还有“分枝定界法”等。