似然比检验

似然比检验是一种寻求检验方法的一般法则。其基本思想如下： 设由n个观察值X1,X2，…，Xn组成的随机样本来自密度函数为f(X; θ)的总体，其中θ为未知参数。要检验的无效假设是H0: θ=θ0，备择假设是H1:θ≠θ0；检验水准为α。为此，求似然函数(见条目“极大似然法”)在θ=θ0处的值与在θ=θ（极大点）处的值（即极大值）之比，记作λ,

由式(1)可以看出：
(1) 两似然函数值之比值λ只是样本观察值的函数，不包含任何未知参数。
(2) 0≤λ≤1，因为似然函数值不会为负，且λ的分母为似然函数的极大值，不会小于分子。
(3) 越接近θ₀时，λ越大；反之，与θ0相差愈大，λ愈小。因此，若能由给定的α求得显著性界值λ0，则可按以下规则进行统计推断：
当λ≤λ0，拒绝H0，接受H₁；当λ>λ₀，不拒绝H0,
这里 P(λ≤λ0)=α。(2)对于离散型的随机变量，只需把式(1)中的密度函数置换成概率函数p(X;θ)，即

这一检验方法还可以推广到有k个参数的情形。
但是，要确定λ的界值λ0，必须知道当H₀成立时λ的分布。当不了解λ的分布或者它的分布太复杂时，就难于确定其界值λ0，此时可利用下述统计原理： 当样本含量n较大时，-2lnλ (本书中用符号G表示)近似x2分布；当自由度大于1，甚至n较小时，这种近似的程度也是相当满意的。基于上述原理，统计中广泛应用对数似然比检验，通过计算统计量G，可按x2分布处理，不但计算方便，而且只要自由度大于1，就不必考虑理论频数大小的问题。关于似然比检验的具体应用，详见条目“频数分布的拟合优度”、“两样本率比较”、“多个样本率比较”、“样本构成比的比较”以及“计数资料的相关分析”等。