主成分分析zhu chengfen fenxi

也称全分量模型的因素分析。是将几个相关的观测变量转换成较少的几个独立的、对观测变量的变差有重要影响的潜在变量的统计分析方法。转换成的潜在变量称作主成分。其数学模型为

式中i=1, 2, …p, Z_i为第i个标准化的观测变量，共P个，彼此相关；fj为第j个主成分，共P个，彼此独立；a_ij是f_i的系数，称作第i个观测变量在第j个主成分上的因子负荷。因最终目的是求取前m个 (m

式中e_i是主成分f_m以后的各项和，可看作误差项。因子负荷的统计意义与公共因素模型的因素分析相似。

主成分分析principal components analysis

是关于多指标分析问题的主要统计方法之一，首先是由霍特林(H.Hotelling)于1933年提出的。其基本思想是为了减少用于描述事物状态的指标的维数，将多指标转化为少数几个综合指标，以便在分析研究中简化问题，迅速抓住主要矛盾。设用p个指标X_i(i=1,2，…，p)来描述n个事物的状态(n>p)。由于这些指标间存在着相关性，所以不妨考虑新的综合指标可以由这p个指标线性表示，即：
Y_i＝C_i1X₁+C_i2X₂+…+C_ipX_p,(i=1,2，…，p)
并且满足：C_k1²+C_k2²+……+C_kp²＝1,(k=1,2，…，p)
确定系数C_ij(i,j=1,2，…，p)，使得Y_i与Y_j(i≠j,i,j=1,2，…，p)互不相关，并且使得Y₁在X_i(i=1,2，…，p)的一切线性函数中具有最大方差，则称Y₁为第一主成分；Y₂是与Y₁不相关，并在X_i(i =1,2，…，p)的所有线性函数中具有最大方差，称其为第二主成分；依次类推，Y_p是与Y_i(i=1，…，p-1)都不相关的X_i(i=1,2，…，p)的所有线性组合中具有最大方差，则称Y_p为第p个主成分。其中，Y₁的方差占总方差的比重最大，而Y₂，…，Y_p的方差比重逐次递减。由于这p个指标的方差总和所构成的总方差实际反映了描述这n个事物状态的信息，因此，只要用到前面几个方差最大的主要成分就可描述原来变量的大部分方差，并可舍去余下的次要成分。其实质是减少了问题的维数，突出了重点。
在应用分析时，首先要根据相关数学知识算出有关资料的主成分；其次，选择m(m

时，则说明新的综合指标基本上保留了原有指标X_i(i=1,2，…，p)的信息，并能反映出来。一般地，当m=3时，就可使所选的主成分保持原有信息总量的比重达到85%以上，从而起到降维的作用；最后，还要解释所选主成分的经济意义。一个典型的应用例子是，斯通(Stone,J.R.N.,1947)对美国收入和支出要素的17个经济指标，如纯公共支出、利息和进出口差额等，利用1922～1938年的历史数据作了主成分分析，选取出三个主成分，分别解释为总收入、总收入每年的变化和时间，它们的贡献率达到97%。另外，此分析方法还可处理诸如多重共线性或样本大小不足等问题。