两圆的等幂轴liangyuan dedengmizhou

对于不同心的两定圆有等幂的点的轨迹，叫做两圆的等幂轴.等幂轴是垂直于两圆连心线的一条直线.如图，设动点P对于不同心的两定圆⊙O₁(r₁)和⊙O₂ (r₂)的幂分别为p₁,p₂；连结PO₁,PO₂，则p₁＝PO₂¹-r₂¹,p₂＝PO₂²-r₂².因为p₁＝p₂，所以PO₂¹-r₂¹＝PO₂²-r₂².因此PO₂¹-PO₂²＝r₂¹-r₂².可以看出，P点的轨迹是垂直于连心线O₁O₂的一条直线l，垂足Q的位置可确定(参见“定差幂线).

图1

图2

上述的直线l叫做两圆⊙O₁(r₁)和⊙O₂(r₂)的等幂轴，或叫做两圆的根轴.

图3

容易知道，两圆的等幂轴，当两圆相交时，必通过两圆交点(图1)，两圆相切时必为过切点的公切线(图2)，两圆相离时必与两圆不相交(图3).