logistic曲线拟合

logistic曲线拟合就是对双变量实测数据用logistic曲线来拟合，并用拟合的曲线方程来分析两变量之间的关系。logistic曲线由比利时数学家P. F. Verhulst于1844年创用，1923年美国R. Pearl与L. J. Reed用于人口研究，故亦称Pearl-Reed曲线。此曲线呈拉长的“S”形或“乙”字形，其形状及特点是只升不降(正“S”形)或只降不升(反“S”形)。曲线对称于拐点（平移后以拐点为原点），上下各有一渐近线。多用于发育、繁殖、动态率、剂量反应率以及人口等方面的研究。
logistic曲线方程为

式中a和b是拟合曲线的常数，L是下渐近线的纵坐标，K是上下两条平行的渐近线间的距离，e是自然对数的底。此曲线的拐点在原坐标的

处。X与拐点横坐标的距离即为式(1)中的x。由式(1)移项和取对数，可得式(3):

式中Y-L是观察点与下渐近线的距离，K-(Y-L)是观察点与上渐近线的距离。若令

则z就是观察点与上下两条渐近线距离之比。
由式(3)与式(4)得式(5):

lnz=ln a+bx,(5)

表示自变量x与应变量Y的函数lnz呈线性关系，式中ln a是截距，b是斜率。求得K,L,a,b后代入式(1)，即得曲线方程。拟合步骤如下：
(1)将各(X,Y)点画在方格纸上，根据图形特点，选定适当的K值与L值，并按式(4)计算z值，如表1。
(2)将各(X,z)点画在半对数纸上，X在算术尺度上，z在对数尺度上，通过尝试调整K或L的大小，使这些观察点呈直线趋势，如图2散点。
(3)按观察点(X,z)，用目测法作直线，如图2直线。
(4) 由目测直线上读出与z=1的X值，作为X₀，将原点平移至拐点x=X-X₀。
(5) 由目测直线(如图2)上，取相距较远而又便于读数的两点：(X₁,z₁),(X₂,z₂)。以x值代替X值，并将z值化成对数，得(x₁,lgz₁),(x₂,lgz₂)。计算该直线的斜率m，并化成自然对数，得b，再计算a。
(6)将K,L,a,b代入式(1)，得曲线方程。
(7)取适当的X值，变换为x值，代入曲线方程求Ŷ值。
(8) 作图。
例 把一批活钉螺同时按同样条件埋于土中，每隔1月取出一部分，检测其存活率，直至12个月，数据见表1。试拟合logistic曲线。

拟合logistic曲线的直线化
(定K与L，计算z)

(1)将(X,Y)点画于方格坐标纸上，得图1。由此图形确定K与L，并计算z。按钉螺存活率最终将降至0%，故选下渐近线L=0；又开始土埋时都是活钉螺，拟合曲线的起点应为(0,100)，则上渐近线必须略高于100，试取K=101，由式(4)得

z值见表1。
(2) 以 (X,z)在半对数纸上作图，见图2，观察点呈直线趋势。
(3)用目测法作直线，见图2。

图1 拟合logistic曲线

(4)确定拐点。由图2目测，对应的X=5.5，以拐点(5.5,50.5)为原点。x=X-5.5,x为曲线方程的自变量。

图2 图1观察点的直线化

(5)求斜率b及截距a。在图2目测直线上选两点： (0,0.01),(11,100)，按x=X-5.5并将z值化成对数，得(0-5.5,lg0.01),(11-5.5,lg100)；即(-5.5,-2),(5.5,2)。于是直线的斜率为：

既然以拐点作为原点，且直线通过拐点，则直线的截距lna=0，故a=1。
(6)将K=101,L=0,a=1,b=0.837304，代入式(1)得

(7)取X=1,2,3，…，12；求得相应的x与Ŷ如下：

X	x=X-5.5	Ŷ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	-5.5 -4.5 -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5	100.00 98.72 95.88 89.91 78.61 60.92 40.08 22.39 11.09 5.12 2.28 1.00 0.44

(8)作图。把各(X,Y)点作图连成曲线，即图1的logistic曲线。此曲线有以下特点：
❶与观察点的趋势一致，而且始终是下降的，表示钉螺生存率随土埋时间的延长不断降低；
❷从(0,100)点开始，表示钉螺土埋时全部存活； (3)曲线对称于平移后的原点(5.5,50.5);
❹曲线的终结以生存率接近0%为极限。