逆矩阵

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伴随矩阵 设A=(a_ii)_n×n，则矩阵

(其中A_ij是A的元素a_ij的代数余子式)称为A的伴随矩阵，并记作A^*．

可逆矩阵 对n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得

AB=BA=E，

其中E是单位矩阵．则称A是可逆矩阵，B是A的一个逆矩阵．

可逆矩阵的惟一性 若A是可逆矩阵，则其逆矩阵惟一并记为A^－1．

克拉默法则的矩阵表示 克拉默法则的矩阵表达形式为：对线性非齐次方程组A_n×nx=b．若A可逆，则A_n×nx=b有惟一解，且x=A^－1b．

简单矩阵方程

(1)若A是n阶可逆矩阵，B是任一个n×m矩阵，则矩阵方程

AX=B

有惟一解X=A^－1B．

(2)若A是n阶可逆矩阵C是任意的m×n矩阵，则矩阵方程

YA=C

有惟一解Y=CA^－1．

矩阵可逆的充要条件 n阶矩阵A可逆．

求逆公式 当A可逆，即若|A|≠0时，有^*，其中A^*是A的伴随矩阵．

奇异矩阵 当|A|=0时，A称为奇异方阵，|A|≠0，则A称为非奇异方阵．

推论 A是n阶矩阵，若存在n阶矩阵B．使得AB=E，则A必可逆，且A^－1=B．

可逆方阵的运算性质

(1)A可逆，则A－1可逆，且(A^－1)－¹=A．

(2)A可逆，k≠0，则．

(3)A，B是同阶可逆方阵，则积AB亦可逆，且(AB)^－1=B^－1A^－1．

(4)A可逆，则A^T亦可逆，且(A^T)^－1=(A^－1)T．

(5)A可逆，则．

注 A可逆，B可逆，A+B不一定可逆，且

(A+B)^－1≠A^－1+B^－1．

求逆矩阵的主要方法

(1)利用公式

若|A|≠0，则A可逆，且

(2)利用初等变换

即将(A|E)进行初等行变换，将A化成单位矩阵，则在同样的初等行变换下，右边的单位矩阵化成了A^－1．或利用

(3)利用定义

对于A，若存在B，使得AB=E，则A可逆，B即是A的逆矩阵，即B=A^－1．

(4)利用可逆矩阵的运算性质

若n阶矩阵A，B可逆，则其乘积AB可逆，且(AB)^－1=B^－1A^－1．