字词 | 线性空间 |
类别 | 中英文字词句释义及详细解析 |
释义 | 线性空间 线性空间 设F是一个数域,S是一个非空集合,在S中定义称为加法运算:对S中任意两个元素α与β,都按某一法则对应于S中惟一确定的元素,记为α+β,且满足规律 (1)α+β=β+α; (2)(α+β)+r=α+(β+r); (3)S中存在一个零元素记为0,即0∈S,使对一切α∈S,有 α+0=0+α=α, (4)对任一个元素α∈S,都存在β∈S,使得 α+β=β+α=0, β称为元素α的负元素. 同时,在S中定义称为数乘的运算,即对数域F中的任意数k,S中的任意元素α,按某一法则对应S中惟一确定的一个元素,记为kα,且满足规律: (5)对数域F中的数1,有 1·α=α; (6)对任意的k,l∈F,α∈S,有 (kl)α=k(lα)=l(kα); (7)对任意的k,l∈F,α∈S,有 (k+l)α=kα+lα; (8)对任意的k∈F,α,β∈S,有 k(α+β)=kα+kβ. 则集合S称为数域F上的线性空间. 线性空间的基本关系 (1)S中的零元素是惟一的; (2)S中任意元素α的负元素是惟一的; (3)0·α=0,(-1)α=-α,k·0=0; (4)若kα=0,则k=0或α=0; (5)对S中任意两个元素α,β,方程 α+ξ=β 有惟一解,ξ=β+(-α)=β-α; (6)S中α的负元素为-α=(-1)α. 线性空间中元素的线性相关性 向量空间是线性空间的特例,线性空间中元素的线性相关性、等价、极大无关组、秩、基、坐标、维数、基变换、坐标变换等概念与向量空间一致,线性空间中的元素,也可称为向量. 线性空间的维数 若线性空间S中有n个线性无关的元素,而任何n+1个元素均线性相关时,则称S是n维(有限维)线性空间,若对任意的正整数n,S中总能找到n个线性无关元素,则称S是无限维线性空间. |
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