最小二乘法

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一般，我们的待求量x₁，x₂，…，x_i有t个，构成待求向量

今测得l₁，l₂，…，l_n，n≥t 构成测量向量

而待求向量与测量向量用设计矩阵联系，由于测量不准，有误差方程

AX=L+V

而为残差向量。

若l₁，l₂，…，l_n为不等精度独立测量值，l_i的方差为，则随机向量L的方差

引入权矩阵

式中元素p_i为l_i的权。

则有

1．误差方程 权P (2．5－6)

2．由得正规方程

(A′PA)X=A′PL (2．5－7)

3．待求最佳向量

X=(A′PA)^－1A′PL (2．5－8)

X=(q_ij)A′PL (2．5－9)

式中(q_ij)为正规方程系数A′PA的逆矩阵。

4．将待求向量代回误差方程求得V，而单位权标准差

5．待求最佳值x_i的标准差

x_i，x_j误差间的相关系数

函数f=F′X

(式中f_i为常数)的标准差

6．若x_i、f的期望为E(x_i)、E(f)，则有

〔例2．5－3〕

今有误差方程

则由最小二乘法得正规方程

故由矩阵求逆，得

从而最佳值

a=0．05，b=1．03

代回误差方程，求得v₁=a+b－1．0=0．05+1．03－1．0=0．08，……，于是

【参考文献】：

［1］王立吉，计量学基础，中国计量出版社，1988。

［2］BIPM、IEC、IFCC，IUPAC，IUPAP，OIML，Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement， ISO，1993．

［3］刘智敏，不确定度原理，中国计量出版社，1993。

［4］刘智敏，误差分布论，原子能出版社，1988。

［5］刘智敏，误差与数据处理，原子能出版社，1983。

［6］Liu Zhimin(刘智敏)，Measurement Uncertainty and Its Correlation Combination，Proceeding of ISEM， 1993．

［7］国家计量总局量值传递处编，计量技术考核纲要，计量出版社，1981。

［8］国家技术监督局审定，刘智敏等编审，全国计量检定人员考核统一试题集第六分册三，误差及数据处理，陕西科学技术出版社，1990。