函数的连续性

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连续的定义1 设函数f(x)在U_δ(x₀)内有定义，如果当自变量的增量△x趋向于零时，对应的函数增量

△y=f(x₀+△x)－f(x₀)

也趋向于零，即

或

则称函数f(x)在点x₀处连续，x₀为f(x)的连续点．

连续的定义2 函数f(x)在点x₀处满足：

(1)f(x)在点x₀处有定义；

(2)存在；

(3)．

则称函数f(x)在点x₀处连续．

左连续 若函数f(x)在(x₀－δ，x₀］内有定义，且

f(x₀－0)=f(x₀)，

则称f(x)在点x₀处左连续．

右连续 若函数f(x)在［x₀，x₀+δ)内有定义，且

f(x₀+0)=f(x₀)，

则称f(x)在点x₀处右连续．

开区间内的连续函数定义 在开区间内(a，b)每一点都连续的函数，称为在该开区间(a，b)上的连续函数，或者说函数在该开区间(a，b)内连续．

闭区间上的连续函数定义 如果函数f(x)在开区间(a，b)内连续，在右端点b左连续，在左端点a右连续，则称函数f(x)在闭区间［a，b］上连续．

定理 函数f(x)在x₀处连续函数f(x)在x₀处既左连续又右连续．

函数的间断点定义 函数f(x)在点x₀的某去心邻域内有定义．如果函数f(x)有下列三种情况之一：

(1)f(x)在点x₀处没有定义；

(2)在x=x₀有定义，但不存在；

(3)在x=x₀有定义，且存在，但．

则称函数f(x)在点x₀处间断，称点x₀为f(x)的间断点．

第Ⅰ类间断点

1．跳跃间断点 如果函数f(x)在点x₀处左、右极限都存在，但f(x₀－0)≠f(x₀+0)，则称点x₀为函数f(x)的跳跃间断点．

2．可去间断点 如果函数f(x)在点x₀处左、右极限都存在，且，但x₀是f(x)的间断点，则称点x₀为函数f(x)的可去间断点．

第Ⅱ类间断点 如果函数f(x)在点x₀处的左、右极限至少有一个不存在，则称点x₀为函数f(x)的第二类间断点．

连续函数的和、积及商的连续性定理

(1)有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数．

(2)有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数．

(3)两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，但要分母在该点不为零．

反函数连续性定理 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数．

复合函数连续性定理 设函数u=φ(x)在点x=x₀连续，且φ(x0)=u₀，函数y=f(u)在点u=u₀连续，那么复合函数y=f(φ(x))在点x=x₀也是连续的．

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．

一切初等函数在其定义内的区间内都是连续的．

最大值和最小值定理

定义：若区间I上，存在点ξ，使在I上任何一点x均有f(ξ)≥f(x)(或f(ξ)≤f(x))则称f(ξ)为函数f(x)在区间I上的最大值(或最小值)．

在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值．

如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，那么至少有一点ξ₁∈［a，b］，使f(ξ₁)是f(x)在［a，b］上的最大值，至少有一点ξ₂∈［a，b］，使f(ξ₂)是f(x)在［a，b］上的最小值(见图2．9)．

图2．9

有界性定理 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界．

零点定理 设函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)·f(b)＜0)，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a＜ξ＜b)使f(ξ)=0．

从几何上看，如果连续曲线y=f(x)的两个端点位于x轴的不同侧，那么这段曲线与x轴至少有一个交点(见图2．10)．

图2．10

介值定理 设函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，f(a)=A，f(b)=B，且A≠B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a＜ξ＜b)．

从几何上看，连续曲线y=f(x)与水平直线y=C至少有一个交点(见图2．11)．

图2．11

推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值．

一致连续的定义 设函数f(x)在区间I上有定义．如果对于任意给定的正数ε，总存在相应的正数δ，使得对于区间I上的任意两点x₁，x₂，当|x₁－x₂|＜δ时，就有|f(x₁)－f(x₂)|＜ε，那么称函数f(x)在区间I上是一致连续的．

一致连续性定理 如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，那么它在该区间上一致连续．